О локальных предельных теоремах для вероятностей умеренных уклонений

Пусть $X_1, X_2,\dots$ – последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое решетчатое распределение, и пусть $EX_1=0$, $DX_1=\sigma^2>0$. Пусть $X_1$ принимает только значения вида $a+kh$ $(k=0,\pm1,\pm2,\dots)$, где $a$ – некоторое действительное число, $h$ – шаг распределения. Обозначим через
$$ \mathsf P_n(k)=\mathsf P\biggl(\sum^n_{i=1}X_i=na+kh\biggr),\quad \frac{na+kh}{\sigma\sqrt{n}}. $$

Указаны условия, необходимые и достаточные для выполнения соотношения
$$ \frac{\sigma\sqrt{n}}{h}\mathsf P_n(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}(1+o(1)),\quad n\to\infty, $$
равномерно относительно $x$ в области $0\leqslant x\leqslant c\sqrt{\log n}$, где $c>0$. Библ. 5 назв.