Оценки спектральной абсциссы элемента в банаховой алгебре

Для произвольного элемента $x$ со спектром $\operatorname{sp}(x)$ в банаховой алгебре с единицей $e\ne0$ определяется: верхняя (нижняя) спектральная абсцисса $\sigma_{\substack{+\\(-)}}(x)=\max\limits_{\displaystyle(\min)}\operatorname{Re}\lambda$, $\lambda\in\operatorname{sp}(x)$, и с помощью спектрального радиуса $\rho(x)=\max\limits_{\lambda\in\operatorname{sp}(x)}|\lambda|=\lim\limits_{n\to+\infty}\|x^n\|^{1/n}$ доказываются следующие оценки: $\gamma_-(x)\le\sigma_-(x)\le\Gamma_-(x)\le\Gamma_+(x)\le\sigma_+(x)\le\gamma_+(x)$, где $\Gamma_{(\pm)}(x)=(2\delta_{(\pm)})^{-1}(\rho_{\delta_{(\pm)}}^2-\delta_{(\pm)}^2-\rho_0^2)$ $(\delta_{(\pm)}\ne0)$, $\gamma_{(\pm)}(x)=(\pm)\rho_{\delta_{(\pm)}}-\delta_{(\pm)}$, $\delta_+\ge0$, $\delta_-\le0$ и $\rho_{\delta_{(\pm)}}=\rho(x+e\delta_{(\pm)}$. Указаны случаи достижения равенства, следствия и точность оценивания: для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta:|\delta|\ge\rho_0^2/2\varepsilon$, что $\Delta:=|\gamma_{(\pm)}(x)-\Gamma_{(\pm)}(x)|<\varepsilon$, и обратно, если оценки сосчитаны для некоторого $\delta\ne0$, то $\Delta\le\rho_0^2/2|\delta|$. Рассмотрен пример. Библ. 4 назв.