Две теоремы о конечных объединениях регрессивных иммунных множеств

Доказывается, что множество всех натуральных чисел не может быть представлено в виде объединения конечного числа иммунных регрессивных множеств. Это ответ на вопрос Аппеля и Мак–Лохлина. Попутно получены два результата.
1. Если $A_1,\dots,A_n$ — регрессивные иммунные множества, то существует такая общерекурсивная функция $f$, что $D_{f(0)},\dots,D_{f(n)},\dots$ — последовательность попарно непересекающихся множеств и
$$ \forall\,x\ (|D_{f(x)}|\le n+1\&D_{f(x)}\cap\overline{A_1\cup\dots\cup A_n}\ne\varnothing). $$

2. Если $A_1,\dots,A_n$ регрессивны и $B$ — бесконечное подмножество $\bigcup\limits_{i=1}^nA_i$, то существует $i$ такое, что $A_i\le{}_eB$. Библ. 2 назв.