О точном порядке приближения функций полиномами С. Н. Бернштейна в метрике Хаусдорфа

В работе исследовано приближение функций полиномами С. Н. Бернштейна в метрике Хаусдорфа. Доказано, что
$$ r_{[0,1]}(f, B_n(f))\leqslant\mu_f\left(4\sqrt{\frac{\ln n}{n}}\right)+O\left(\sqrt{\frac{\ln n}{n}}\right),\qquad\qquad{(1)} $$
где $r_{[0,1]}(f, B_n(f))$ — хаусдорфово расстояние между функциями $f(x)$ и $B_n(f; x)$ на отрезке $[0,1]$,
$$ \mu_f(\delta)=\frac12\sup_{\substack{|x_1-x_2|\leqslant\delta\\ x_1,x_2\in\Delta}}\{\sup_{x_1\leqslant x\leqslant x_2}[|f(x_1)-f(x)|+|f(x_2)-f(x)|]-|f(x_1)-f(x_2)|\} $$
— модуль немонотонности функции $f(x)$. Оценка (1) лучше по порядку, чем полученная ранее Б. Сендовым. Показано, что порядок в (1) улучшить нельзя. Библ. 5 назв.