О числе ближайших бент-функций к некоторым бент-функциям Мэйорана — МакФарланда

Рассматривается количество ближайших бент-функций к некоторым бент-функциям из класса Мэйорана — МакФарланда $\mathcal{M}_{2n}$, близкое к оценкам для него: нижней $\mathcal{l}_{2n} = 2^{2n + 1} - 2^n$ и точной верхней $\mathcal{L}_{2n}$. Для бент-функций вида $f(x,y) = \langle x, \sigma(y)\rangle \oplus \varphi(y) \in \mathcal{M}_{2n}$, где $\sigma$ построена с помощью функции инверсии элементов конечного поля, подсчитано число ближайших бент-функций при тождественно нулевой $\varphi$, а также показано, что для некоторой подходящей $\varphi$ количество ближайших к $f$ бент-функций меньше чем $\mathcal{l}_{2n} + 82(2^n - 1)$, т. е. равно $\mathcal{l}_{2n} + o(\mathcal{l}_{2n})$ при $n \to \infty$. Получена формула числа бент-функций, ближайших к $f(x,y) = \langle x, y\rangle \oplus y_1 y_2 \dots y_m \in \mathcal{M}_{2n}$, где $3 \leq m \leq n$. Для $m = 3$ и $m = n$ это число равно $o(\mathcal{L}_{2n})$ и $\dfrac{1}{3}\mathcal{L}_{2n} + o(\mathcal{L}_{2n})$ соответственно при $n \to \infty$. Приведена полная классификация $\mathcal{M}_6$ по числу ближайших бент-функций.