О числе функций, разрушающих структуру подпространств размерности $3$ и выше

Рассматриваются оценки мощности множеств $\mathcal{P}_{n}^{k}$ обратимых функций $F: \mathbb{F}_2^{n} {\to} \mathbb{F}_2^{n}$, для которых любое $U \subseteq \mathbb{F}_2^{n}$ и его образ $F(U)$ не могут одновременно являться аффинными подпространствами $\mathbb{F}_2^{n}$ размерности $k$, где $3 \leq k \leq n - 1$. Приведены нижние оценки мощности $\mathcal{P}_{n}^{k}$ и $\mathcal{P}_{n}^{k} \cap \ldots \cap \mathcal{P}_{n}^{n - 1}$, усиливающие результаты 2007 г. (W. E. Clark и др.) о непустоте данных множеств. Доказано, что почти все подстановки на $\mathbb{F}_2^{n}$ принадлежат $\mathcal{P}_{n}^{4} \cap \ldots \cap \mathcal{P}_{n}^{n - 1}$. Для мощностей множеств $\mathcal{P}_{n}^{3}$ и $\mathcal{P}_{n}^{3} \cap \ldots \cap \mathcal{P}_{n}^{n - 1}$ получены асимптотические оценки сверху и снизу с точностью до $o(2^n!)$. Оценено снизу число функций из $\mathcal{P}_{n}^{4} \cap \ldots \cap \mathcal{P}_{n}^{n - 1}$, которые отображают ровно одно аффинное подпространство $\mathbb{F}_2^{n}$ размерности $3$ в аффинное подпространство.