Доказано (1996), что степенная скорость сходимости в эргодической теореме фон Неймана эквивалентна степенной же, с тем же показателем степени, особенности в нуле спектральной меры усредняемой функции относительно соответствующей динамической системы. Тем самым показано, что оценки скорости сходимости в этой эргодической теореме с необходимостью являются спектральными.
Получены (1996; с 2010 – с учениками) оценки скоростей сходимости: в эргодической теореме фон Неймана – по особенности в нуле спектральной меры, и по скорости убывания корреляций (т.е. коэффициентов Фурье этой меры); в эргодической теореме Биркгофа – по скорости сходимости в теореме фон Неймана, и по скорости убывания вероятностей больших уклонений. Даны асимптотически точные оценки скоростей сходимости в обеих этих эргодических теоремах для некоторых известных бильярдов и систем Аносова.
Введен (1998) в рассмотрение новый стохастический процесс, содержащий эргодические средние и мартингалы как частные вырожденные случаи, для которого доказаны сходимость п.в. (дополнительное условие интегрируемости супремума модуля процесса было опущено учеником И.В. Подвигиным в 2010) и по норме, и справедливы максимальное и доминантное неравенства.
Показано (2018), что суммы Фейера мер на окружности и нормы отклонений от предела в эргодической теореме фон Неймана вычисляются фактически по одним и тем же формулам (интегрированием ядер Фейера) – так что сама эта эргодическая теорема является утверждением об асимптотике роста сумм Фейера в точке 0 соответствующей спектральной меры. Имеющиеся в литературе по гармоническому анализу многочисленные оценки уклонений сумм Фейера в точке позволили получить новые оценки скоростей сходимости в этой эргодической теореме.
Доказано (2019; с И.В. Подвигиным) существование справедливых п.в. оценок поточечной скорости сходимости в теореме Биркгофа (в эргодическом случае); получены критерии максимально возможной такой скорости сходимости.
Научная биография:
Окончил механико-математический факультет Новосибирского государственного университета в 1983 г. (кафедра математического анализа). Кандидатская диссертация защищена в 1987 г. в Институте математики СО АН СССР, г. Новосибирск. Докторская – в 1999 г. в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН. Основное место работы с 1983 г. – Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН (с перерывом в 1997–1999 на докторантуру в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН).
Основные публикации:
Качуровский А. Г., “Скорости сходимости в эргодических теоремах”, УМН, 51:4 (1996), 73–124
Качуровский А. Г., “Единые теории, унифицирующие эргодические средние и мартингалы”, Труды МИАН, 256, 2007, 172–200
Качуровский А. Г., Подвигин И. В., “Оценки скоростей сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа”, Труды ММО, 77, № 1, 2016, 1–66
Качуровский А. Г., Подвигин И. В., “Суммы Фейера периодических мер и эргодическая теорема фон Неймана”, Докл. РАН, 481:4 (2018), 358–361
Качуровский А. Г., Подвигин И. В., “Об измерении скоростей сходимости в эргодической теореме Биркгофа”, Матем. заметки, 106:1 (2019), 40–52
А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, А. Ж. Хакимбаев, “Равномерная сходимость на подпространствах в эргодической теореме фон Неймана с дискретным временем”, Матем. заметки, 113:5 (2023), 713–730; A. G. Kachurovskii, I. V. Podvigin, A. J. Khakimbaev, “Uniform Convergence on Subspaces in von Neumann Ergodic
Theorem with Discrete Time”, Math. Notes, 113:5 (2023), 680–693
2.
A. G. Kachurovskii, I. V. Podvigin, V. E. Todikov, “Uniform convergence on subspaces in von Neumann's ergodic theorem with continuous time”, Сиб. электрон. матем. изв., 20:1 (2023), 183–206
2021
3.
А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, А. А. Свищёв, “Закон нуля или единицы для скоростей сходимости в эргодической теореме Биркгофа с непрерывным временем”, Матем. тр., 24:2 (2021), 65–80
2020
4.
А. Г. Качуровский, М. Н. Лапштаев, А. Ж. Хакимбаев, “Эргодическая теорема фон Неймана и суммы Фейера зарядов на окружности”, Сиб. электрон. матем. изв., 17 (2020), 1313–1321
5.
А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, А. А. Свищёв, “Максимальная поточечная скорость сходимости в эргодической теореме Биркгофа”, Зап. научн. сем. ПОМИ, 498 (2020), 18–25
2019
6.
А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, “Об измерении скоростей сходимости
в эргодической теореме Биркгофа”, Матем. заметки, 106:1 (2019), 40–52; A. G. Kachurovskii, I. V. Podvigin, “Measuring the Rate of Convergence in the Birkhoff Ergodic Theorem”, Math. Notes, 106:1 (2019), 52–62
2018
7.
А. Г. Качуровский, “Интегралы Фейера и эргодическая теорема фон Неймана с непрерывным временем”, Зап. научн. сем. ПОМИ, 474 (2018), 171–182
2017
8.
А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, “Большие уклонения эргодических средних: переход от гёльдеровости к непрерывности почти всюду”, Матем. тр., 20:1 (2017), 97–120; A. G. Kachurovskiǐ, I. V. Podvigin, “Large deviations of the ergodic averages: from Hölder continuity to continuity almost everywhere”, Siberian Adv. Math., 28:1 (2018), 23–38
2016
9.
А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, “Оценки скоростей сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа”, Тр. ММО, 77:1 (2016), 1–66; A. G. Kachurovskii, I. V. Podvigin, “Estimates of the rate of convergence in the von Neumann and Birkhoff ergodic theorems”, Trans. Moscow Math. Soc., 77 (2016), 1–53
2013
10.
А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, “Большие уклонения и скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа”, Матем. заметки, 94:4 (2013), 569–577; A. G. Kachurovskii, I. V. Podvigin, “Large Deviations and the Rate of Convergence in the Birkhoff Ergodic Theorem”, Math. Notes, 94:4 (2013), 524–531
2012
11.
А. Г. Качуровский, В. В. Седалищев, “О константах оценок скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа”, Матем. заметки, 91:4 (2012), 624–628; A. G. Kachurovskii, V. V. Sedalishchev, “On the Constants in the Estimates of the Rate of Convergence in the Birkhoff Ergodic Theorem”, Math. Notes, 91:4 (2012), 582–587
2011
12.
А. Г. Качуровский, В. В. Седалищев, “Константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа”, Матем. сб., 202:8 (2011), 21–40; A. G. Kachurovskii, V. V. Sedalishchev, “Constants in estimates for the rates of convergence in von Neumann's and Birkhoff's ergodic theorems”, Sb. Math., 202:8 (2011), 1105–1125
13.
Н. А. Джулай, А. Г. Качуровский, “Константы оценок скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана с непрерывным временем”, Сиб. матем. журн., 52:5 (2011), 1039–1052; N. A. Dzhulaǐ, A. G. Kachurovskiǐ, “Constants in the estimates of the rate of convergence in von Neumann's ergodic theorem with continuous time”, Siberian Math. J., 52:5 (2011), 824–835
2010
14.
А. Г. Качуровский, В. В. Седалищев, “О константах оценок скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана”, Матем. заметки, 87:5 (2010), 756–763; A. G. Kachurovskii, V. V. Sedalishchev, “On the Constants in the Estimates of the Rate of Convergence in von Neumann's Ergodic Theorem”, Math. Notes, 87:5 (2010), 720–727
15.
А. Г. Качуровский, А. В. Решетенко, “О скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана с непрерывным временем”, Матем. сб., 201:4 (2010), 25–32; A. G. Kachurovskii, A. V. Reshetenko, “On the rate of convergence in von Neumann's ergodic theorem with continuous time”, Sb. Math., 201:4 (2010), 493–500
2007
16.
А. Г. Качуровский, “Единые теории, унифицирующие эргодические средние и мартингалы”, Труды МИАН, 256 (2007), 172–200; A. G. Kachurovskii, “General Theories Unifying Ergodic Averages and Martingales”, Proc. Steklov Inst. Math., 256 (2007), 160–187
2006
17.
А. Г. Качуровский, “Об энтропийном кирпиче автоморфизма пространства Лебега”, Матем. заметки, 80:6 (2006), 943–945; A. G. Kachurovskii, “The entropy brick of an automorphism of a Lebesgue space”, Math. Notes, 80:6 (2006), 885–887
1999
18.
А. Г. Качуровский, “О сходимости средних в эргодической теореме для групп $\mathbb Z^d$”, Зап. научн. сем. ПОМИ, 256 (1999), 121–128; A. G. Kachurovskii, “Convergence of averages in the ergodic theorem for groups $\mathbb Z^d$”, J. Math. Sci. (New York), 107:5 (2001), 4231–4236
1998
19.
А. Г. Качуровский, “Мартингально-эргодическая теорема”, Матем. заметки, 64:2 (1998), 311–314; A. G. Kachurovskii, “Martingale ergodic theorem”, Math. Notes, 64:2 (1998), 266–269
1996
20.
А. Г. Качуровский, “Спектральные меры и скорости сходимости в эргодической теореме”, Докл. РАН, 347:5 (1996), 593–596
21.
А. Г. Качуровский, “Скорости сходимости в эргодических теоремах”, УМН, 51:4(310) (1996), 73–124; A. G. Kachurovskii, “The rate of convergence in ergodic theorems”, Russian Math. Surveys, 51:4 (1996), 653–703
1992
22.
А. Г. Качуровский, “Флуктуации средних в эргодической теореме Биркгофа–Хинчина”, Тр. Ин-та математики СО РАН, 21 (1992), 52–86
23.
А. Г. Качуровский, “Временные флуктуации в статистической эргодической теореме”, Матем. заметки, 52:1 (1992), 146–148; A. G. Kachurovskii, “Time fluctuations in the statistical ergodic theorem”, Math. Notes, 52:1 (1992), 744–745
1991
24.
А. Г. Качуровский, “Флуктуационная эргодическая теорема”, Докл. АН СССР, 317:4 (1991), 823–826; A. G. Kachurovskii, “A fluctuation ergodic theorem”, Dokl. Math., 43:2 (1991), 537–539
25.
А. Г. Качуровский, “Флуктуации средних в усиленном законе больших чисел”, Матем. заметки, 50:5 (1991), 151–153; A. G. Kachurovskii, “Fluctuation of averages in the strong law of large numbers”, Math. Notes, 50:5 (1991), 1202–1203
1990
26.
А. Г. Качуровский, “Ограниченность флуктуации последовательностей средних в эргодической теореме Биркгофа–Хинчина”, Докл. АН СССР, 315:3 (1990), 530–532; A. G. Kachurovskii, “Boundedness of the fluctuation of mean sequences in the ergodic Birkhoff–Khinchin theorem”, Dokl. Math., 42:3 (1991), 810–812
1986
27.
А. Г. Качуровский, “О существовании инвариантной меры у топологических динамических систем”, Сиб. матем. журн., 27:4 (1986), 203–207
Обратная связь: