On one generalization of the local formations

Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Пусть $\sigma=\{\sigma_i\mid i\in I\}$ — некоторое разбиение множества всех простых чисел $\mathbb{P}$. Натуральные числа $n$ и $m$ называются $\sigma$-взаимно простыми, если для всякого такого $\sigma_i$, что $\sigma_i\cap\pi(n)\ne\varnothing$, мы имеем $\sigma_i\cap\pi(m)=\varnothing$. Пусть $t>1$ — натуральное число и пусть $\mathfrak{F}$ — класс групп. Тогда мы говорим, что $\mathfrak{F}$ является: (i) $S_\sigma^t$-замкнутым (соответственно слабо $S_\sigma^t$-замкнутым), если $\mathfrak{F}$ содержит всякую конечную группу $G$, удовлетворяющую следующим условиям: (1) $G$ содержит такие подгруппы $A_1,\dots,A_t\in\mathfrak{F}$, что $G=A_iA_j$ для всех $i\ne j$; (2) индексы $|G:N_G(A_1)|,\dots,|G:N_G(A_t)|$ (соответственно индексы $|G:A_1|,\dots,|G:A_{t-1}|, |G:N_G(A_t)|$ попарно $\sigma$-взаимно просты; (ii) $\mathcal{M}_\sigma^t$-замкнутым (соответственно слабо $\mathcal{M}_\sigma^t$-замкнутым), если $F$ содержит всякую конечную группу $G$, удовлетворяющую следующим условиям: (1) $G$ содержит такие модулярные подгруппы $A_1,\dots,A_t\in\mathfrak{F}$, что $G=A_iA_j$ для всех $i\ne j$; (2) индексы $|G:N_G(A_1)|,\dots,|G:N_G(A_t)|$ (соответственно индексы $|G:A_1|,\dots,|G:A_{t-1}|, |G:N_G(A_t)|$ попарно $\sigma$-взаимно просты. В работе изучаются свойства и приложения (слабо) $S_\sigma^t$-замкнутых и (слабо) $\mathcal{M}_\sigma^t$ -замкнутых классов конечных групп.