Существование последовательностей, удовлетворяющих рекуррентным соотношениям билинейного типа

Рассматриваются последовательности $\left\{A_n\right\}_{n=-\infty}^{+\infty}$ элементов произвольного поля $\mathbb{F}$, удовлетворяющие разложениям вида
$$ \begin{aligned}& A_{m+n} A_{m-n}=a_1(m) b_1(n)+a_2(m) b_2(n),\\ & A_{m+n+1} A_{m-n}=\tilde a_1(m) \tilde b_1(n)+\tilde a_2(m) \tilde b_2(n), \end{aligned} $$
где $a_1,a_2,b_1,b_2\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{F}$. Доказываются результаты о существовании и единственности таких последовательностей. Полученные результаты используются для построения аналогов криптографических алгоритмов Диффи – Хеллмана и Эль-Гамаля. Задача дискретного логарифмирования ставится в группе $(S,+)$, где множество $S$ состоит из четверок $S(n)=(A_{n-1},A_n, A_{n+1}, A_{n+2})$, $n\in\mathbb{Z}$, а $S(n)+S(m)=S(n+m)$.