Предельный случайный поток для последовательности обслуживающих устройств

Рассматривается бесконечная последовательность одноканальных обслуживающих устройств (серверов) $S^0,S^1,\dots,$, где вход сервера $S^N$ совпадает с выходом сервера $S^{N-1}$. Серверы работают по принципу “первым пришел – первым обслужен”. Вход начального сервера $S^0$ описывается стационарным эргодическим маркированным потоком $\xi^0$, образующим очередь $G/G/1/\infty$. Длительность обслуживания отдельного клиента не меняется при переходе от сервера к серверу (принцип телеграфа). Показывается, что если длительность обслуживания в потоке $\xi^0$ принимает конечное множество значений, то поток на выходе сервера сервера $S^N$ сходится при $N\to\infty$ к предельному стационарному потоку $\bar\xi$, дается описание потока $\bar\xi$. Если же распределение $\sigma^0$ длительности обслуживания в потоке $\xi^0$сосредоточено на неограниченном носителе, либо носитель $\rm{supp}\sigma^0$ ограничен, но распределение не имеет атома в точке $l^\ast=\rm{sup}[l:l\in\rm{supp}\sigma^0]$, то поток $\bar\xi$ сходится (в некотором специальном смысле) к плотно упакованному потоку, в котором интервал между моментами прихода двух последовательных клиентов равен длительности обслуживания первого из них.