О двумерных обобщениях сумм и разностей множеств II

Известно, что если $A \subseteq G,$ где $G$ — любая абелева группа, то из $|A+A| \le 3/2|A|$ или $|A-A| \le 3/2|A|$ следует, что $A \subseteq H,$ где $H$ — смежный класс по некоторой подгруппе $G$ и $|H| \le 3/2 |A|.$ Будет рассказано о подобной теореме для множеств $A^2 - \Delta(A) \subseteq G^2$ и $A^2 + \Delta(A) \subseteq G^2,$ где $A^2$ — множество пар элементов $A,$ а $\Delta(A)$ — диагональное множество, то есть $\{(a, a) \in G \times G | a \in A\}.$ Будет рассказано о совершенно новом подходе для доказательства данной теоремы, который позволил получить максимально возможный результат. А именно, если $|A^2 \pm \Delta(A)| < 7/4|A|^2,$ то $A \subseteq H$ — подгруппа $G,$ причем $|H| < 3/2 |A|.$