Contribution to the theory of hyperbolic zeta-functions of the lattices

В докладе излагаются результаты совместной работы Н.М. Добровольского и Н.Н. Добровольского “О новых результатах в теории гиперболической дзета-функции решёток”, выполненной при поддержке гранта РФФИ № 15-01-01540а.

Гипеболическая дзета -функция решёток задаётся в правой полуплоскости $\Re \alpha>1$ рядом
$$ \zeta(\Lambda|\alpha)\,=\,\sum\limits_{\vec{x}\in \Lambda,\;\vec{x}\ne \vec{0}}(\overline{x}_{1}\ldots \overline{x}_{s})^{-\alpha}, $$
где $\overline{x}=\max{(1,|x|)}$. Очевидно, что при $s=1$ гиперболическая дзета -функция решётки выражается через дзета -функцию Римана.

Для гиперболической дзета -функции решётки $\Lambda(t,F)$ в работе [1] была получена асимптотическая формула
$$ \zeta_{H}(\Lambda(t,F)|\alpha)\,=\,\frac{2(\det\Lambda(F))^{\alpha}}{R(s-1)!} \biggl(\,\sum\limits_{(w)}|N(w)|^{-\,\alpha}\biggr)\,\frac{\ln^{s-1}{\det\Lambda(t,F)}}{(\det\Lambda(t,F))^{\alpha}}\,+\,O\biggl(\frac{\ln^{s-2}{\det\Lambda(t,F)}}{(\det\Lambda(t,F))^{\alpha}}\biggr), $$
где $R$ - регулятор поля $F$, а в сумме по $(w)$ суммирование проводится по всем главным идеалам кольца $\mathbf{Z}_{F}$.

Обозначим через $\zeta_{D_{0}}(\alpha|F)$ дзета-функцию Дедекинда главных идеалов квадратичного поля $F$:
$$ \zeta_{D_{0}}(\alpha|F)\,=\,\sum\limits_{(\omega)}|N(\omega)|^{-\alpha}. $$
Тогда
$$ \zeta_{D_{0}}(\alpha|F)\,=\,\sum\limits_{(\omega)}|N(\omega)|^{-\alpha}\ln{|N(\omega)|}. $$


Теорема. Справедливо асимптотическое равенство:
$$ \zeta_{H}(\Lambda(t,F)|\alpha)\,=\,\frac{2(\det\Lambda)^{\alpha}\zeta_{D_{0}}(\alpha|F)}{R}\cdot \frac{\ln{\det\Lambda(t)}}{(\det\Lambda(t))^{\alpha}}\,-\,\frac{2(\det\Lambda)^{\alpha}}{R(\det\Lambda(t))^{\alpha}}\, \bigl(\ln{\det{\Lambda}}\,+\,\zeta_{D_{0}}'(\alpha|F))\,+\,\frac{2(\det{\Lambda})^{\alpha}\zeta_{D_{0}}(\alpha|F)}{(\det{\Lambda(t)})^{\alpha}}\biggl(\theta_{1}(\alpha)\,+\, \frac{\theta_{2}(\alpha)}{\sinh{(\alpha R/2)}}\biggr), $$
\emph{где $|\theta_{1}(\alpha)|\le 1$ и $\varepsilon_{0}^{-\alpha/2}\le \theta_{2}(\alpha)\le \varepsilon_{0}^{\alpha/2}$, $\varepsilon_{0}$ - фундаментальная единица квадратичного поля $F$ и $R$ - регулятор этого поля.}

Доказательство этого утверждения содержится в работе [2].

Анализ приведённых результатов показывает, что в случае квадратичных полей удаётся существенно уточнить асимптотическую формулу для гиперболической дзета-функции алгебраической решётки квадратичного поля.

Ясно, что дальнейшие исследования в случае квадратичных полей должны быть направлены на изучение дзета-функции Дедекинда главных идеалов квадратичного поля и её производных.


[1] Н.М. Добровольский, В.С. Ванькова, С.Л. Козлова, Гиперболическая дзета-функция алгебраических решёток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90 № 2327-B90.
[2] Л.П. Добровольская, М.Н. Добровольский, Н.М. Добровольский, Н.Н. Добровольский, Гиперболические дзета-функции решетки квадратичного поля. Чебышевский сб., 136:4 (2015), 100-149.