Некоторые решённые и нерешённые задачи геометрической томографии

Рассматриваются задачи реконструкции форм выпуклых (и некоторых более сложных) тел в евклидовых пространствах по формам их проекций на плоскости размерностей $2$ и выше. Основной вопрос формулируется так: Пусть $V, W$ – выпуклые тела в ${\mathbb R}^n$, и их проекции на любую $2$-мерную плоскость (или $k$-мерную плоскость, $k >1$) совмещаются линейным преобразованием этой плоскости. Насколько различными могут быть $V$ и $W$? Получены условия, при которых эти тела совмещаются в ${\mathbb R}^n$ либо параллельным переносом, либо гомотетией.
С этой задачей тесно связан вопрос о «непрерывном кубике Рубика»: Пусть непрерывные функции $f$ и $g$ определены на сфере и их ограничения на любую окружность большого круга совпадают после некоторого подворота этой окружности. Верно ли, что $f(x) = g(x)$ или $f(x) = g(-x)$ при всех $x$, то есть все углы указанных подворотов либо нулевые, либо равны 180 градусам?
Литература: R.J.Gardner Geometric tomography, 2-d edition, Cambridge university press, 2006.