Интегральные инварианты трехмерных несжимаемых течений

Доклад посвящен изучению топологических инвариантов бездивергентных векторных полей (т.е. несжимаемых течений) на компактном $3$-мерном многообразии. Разбиение многообразия на интегральные траектории такого векторного поля можно рассматривать как "распределенное зацепление", т.е. зацепление (или узел) распределено по всему многообразию. Грубо говоря, инварианты несжимаемых течений — это распространение инвариантов обычных зацеплений на случай распределенных зацеплений. Перейдем к точным формулировкам.
Фиксируем компактное гладкое ориентируемое $3$-мерное многообразие $Q$. Несжимаемым течением (или распределенным зацеплением) на $Q$ назовем пару $(X,m)$, где $X$ — векторное поле без нулей, $m$ — $3$-форма объема на $Q$, такие, что $2$-форма $B = i_X m$ замкнута. Если $2$-форма $B$ точна, то течение $(X,m)$ назовем точным. Отметим, что поток векторного поля $X$ сохраняет форму объема $m$, так как зануляется производная Ли
$$L_X m = (i_X d + d i_X)m = d i_X m = dB = 0,$$
т.е. векторное поле $X$ действительно является несжимаемым, или бездивергентным.
Топологическим инвариантом точных несжимаемых течений на $Q$ назовем вещественнозначный функционал $I = I(X,m)$ на множестве точных несжимаемых течений на $Q$, удовлетворяющий соотношению $I(X,m) = I(h_* X, (h^{-1})^*m)$ для любого сохраняющего ориентацию диффеоморфизма $h: Q\to Q$. Известными примерами инвариантов являются энергия $E(X,m) = \int_Q m$ и спиральность $H(X,m) = \int_Q A \wedge B$, где $A$ — $1$-форма на $Q$ такая, что $dA = B$.
Топологический инвариант $I = I(X,m)$ назовем интегральным, если он допускает интегральное представление $I(X,m) = \int_Q F(i_X A)m$ для некоторой гладкой функции $F(t)$ одной переменной, где $A$ — $1$-форма на $Q$ как выше.
Основной результат: Если $I = I(X,m)$ — интегральный топологический инвариант точных несжимаемых течений на $Q$, то он является линейной комбинацией инвариантов энергии и спиральности, т.е. $I(X,m) = a E(X,m) + b H(X,m)$, где $a,b$ — вещественные константы.