О группе компонент вещественной алгебраической группы

Пусть $G$ — связная алгебраическая группа, определённая над полем вещественных чисел $\mathbb{R}$. Множество её комплексных точек $G(\mathbb{C})$ есть связная комплексная группа Ли, а множество вещественных точек $G(\mathbb{R})$ — вещественная группа Ли, но уже не обязательно связная: в качестве контрпримера достаточно взять $GL_n(\mathbb{R})$. Оказывается, что группа компонент связности $\pi_0G(\mathbb{R})=G(\mathbb{R})/G(\mathbb{R})^\circ$ (где $\mathbb{G(R)}^\circ$ — связная компонента единицы) всегда будет элементарной абелевой 2-группой. Этот результат был впервые получен Х. Мацумото в 1964 г. для полупростых алгебраических групп. Обобщая и уточняя теорему Мацумото, мы явно вычислим группу $\pi_0G(\mathbb{R})$ для произвольной (не обязательно линейной) связной алгебраической группы, основываясь на точной последовательности
\begin{equation*} 1 \longrightarrow \pi_0G(\mathbb{R}) \longrightarrow H^1(\mathbb{R},\pi_1G(\mathbb{C})) \longrightarrow H^1(\mathbb{R},\widetilde{G}), \end{equation*}
где $\pi_1G(\mathbb{C})$ — фундаментальная группа, а $\widetilde{G}$ — универсальная накрывающая группы Ли $G(\mathbb{C})$, и $H^1(\mathbb{R},{-})$ обозначает множество первых когомологий группы Галуа $\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ с коэффициентами в данной группе. Ответ выглядит особенно наглядно в случаях, когда $G$ — линейная алгебраическая группа или абелево многообразие.