Аннотация:
Этот доклад основан на совместной работе с А. Кочеровой.
Мы будем изучать геометрические свойства двух полных наборов ортогональных проекторов ранга 1: $\{p_i\}^n_{i=1}$ и $\{q_j\}^n_{j=1}$, действующих в $n$-мерном комплексном пространстве $V$.
Пусть $X$ — многообразие, параметризующее пары наборов. Рассмотрим фактор $Y = X // {\rm GL(V)$}.
Можно показать, что кольцо ${\cal O}(Y) = {\cal O}(X)^{\rm GL(V)}$ порождено функциями
$$
{\rm Tr}p_{i_1}q_{j_1}\ldots p_{i_s}q_{j_s}, \quad s \le n,
$$
причем все коэффициенты $i$ (а также $j$) различны.
В нашем докладе мы расскажем про некоторые геометрические свойства многообразия $Y$.
Зафиксируем проекторы $p_i$ диагональными и обозначим через $T$ диагональный тор. Рассмотрим произведение (ко)присоединенных орбит $Z = {\cal O}(q_1) \times \dots \times {\cal O}(q_n)$ проекторов ранга 1. Тогда есть хорошо-известное отображение моментов $\mu_1\colon Z \to {\mathfrak gl}_n({\mathbb C})$, определенное так:
$$
(q_1,\ldots,q_n) \mapsto \sum^n_{i=1}q_i.
$$
Несложно показать, что $Y$ описать как фактор $\mu^{-1}_1(E)/{\rm GL}(V)$. Далее, есть естественное отображение моментов относительно действия $T^n$:
$$
\mu_2\colon Z \to {\mathbb C}^{n(n-1)},
$$
определенное по формуле
$$
\mu_2\colon (q_1,\ldots,q_n) \mapsto {\rm Tr}(p_iq_j)_{i = 1,\ldots,n-1; j = 1,\ldots,n}.
$$
Отображение $\mu_2$ можно определить на $Y$ — получим отображение $\mu_2\colon Y \to {\mathbb C}^{(n-1)^2}$, заданное функциями ${\rm Tr}p_iq_j$. Данное отображение имеет хорошо известную “квантово-механическую” переформулировку: для этого надо рассмотреть комплексное пространство с эрмитовой метрикой, вместо проекторов можно рассмотреть эрмитовы проекторы. Тогда каждому набору соответствует своя наблюдаемая, а следам — вероятности перехода квантово-механической системы из одного состояния в другое.
То есть отображение $\mu_2$ это сопоставление квантовой системе из 2 наблюдаемых — вероятностей перехода.
Зафиксируем точку $Q = (q_1,\ldots,q_n) \in Y$ и обозначим ${\mathfrak t}_Q$ картановскую подалгебру, порожденную $q_i$.
Методами симплектической геометрии можно показать, что для касательного пространства в фиксированной точке $Q$ имеем изоморфизм
$$
{\rm Ker}\,d\mu_2|_Q = [{\mathfrak t}, {\mathfrak t}_Q]^{\perp}/({\mathfrak t}_Q + {\mathfrak t}),
$$
здесь $\perp$ — взятие ортогонального дополнения относительно формы следа, а ${\mathfrak t}$ — диагональная картановская подалгебра.
Далее, рассмотрим другое описание набора проекторов: полный набор ортогональных проекторов задается набором из $n$ точек в ${\mathbb P}^{n-1}$. Каждому проектору сопостовляется его образ, используя ортогональность получаем однозначное задание проекторов. Двум полным системама проекторов соответствует набор из $2n$ точек в ${\mathbb P}^{n-1}$. Рассмотрим пример $n = 3$. В этом случае многообразие, задающее 6 точек в ${\mathbb P}^2$ - многообразие Кобла ${\cal C}$ — естественная компактификация многообразия $Y$. А отображение $\mu_2$ продолжается до двулистного накрытия $\mu_2\colon {\cal C \to {\mathbb P}^4$}. При этом с помощью описания ядра ${\rm Ker}\,d\mu_2$ в формуле получаем, что дивизор ветвления $\mu_2$ характеризуется тем, что существует нетривиальное соотношение на коммутаторы проекторов: $\sum^2_{i,j=1} a_{ij}[p_i,q_j] = 0$. С другой стороны дивизор ветвления - квартика Игусы, параметризующее 6 точек на конике. Таким образом, можно сформулировать следующий результат:
Теорема. Пусть есть 2 тройки ортогональных проекторов $\{p_i\}$ и $\{q_j\}$ действующих в 3-мерном пространстве. Тогда существует нетривиальное соотношение
$\sum^2_{i,j=1} a_{ij}[p_i,q_j] = 0$ тогда и только тогда, когда точки соответствующие образам проекторов лежат на конике.
Также, если останется время, я расскажу об обобщениях этого результата.
Обратная связь: