Аннотация:
Пусть $f(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами. Мы обсудим свойства функции
\begin{multline*}
j_f(N)=\\max_{m}\{m:\text{Для некоторого } x\in \mathbb N\text{ неравенство }(x+f(i),N)>1\text{ выполнено для всех }i\leq m\},
\end{multline*}
являющейся обобщением функции Якобсталя. Будет доказана нижняя оценка
\[
j_f(P(y))\gg y(\ln y)^{\ell_f-1}(\frac{\ln\ln^2 y}{\ln\ln\ln y})^{h_f}(\frac{\ln y\ln\ln\ln y}{\ln\ln^2 y})^{M(f)},
\]
где $P(y)$ — произведение всех простых $p\leq y$, $\ell_f$ — количество различных линейных делителей $f(x)$, $h_f$ — число различных неприводимых нелинейных делителей $f(x)$, а $M(f)$ — величина, зависящая от свойств $f$ как отображения $f:\mathbb F_p\to \mathbb F_p$.
Обратная связь: