Решето Виноградова и короткие суммы Клоостермана

Неполной взвешенной суммой Клоостермана называется тригонометрическая сумма вида
$$ S(x, m; a, b) = \sum_{\substack{\nu \leqslant x\\ (\nu, m) = 1}}{ f(\nu )\exp\Big(2\pi i \frac {a\overline{\nu} + b\nu}{m}\Big)}, \quad 1 < x < m, $$
где $1 < x < m$, $m$, $a$, $b$ – целые числа, а через $\overline{\nu}$ обозначается вычет, обратный к $\nu$ по модулю $m$: $\nu \overline{\nu} \equiv 1 \pmod{m}$. Оценкам таких сумм при различных условиях на $m$, $x$, $a$, $b$ посвящены работы А. А. Карацубы, М. А. Королёва, М. З. Гараева, Ж. Бургейна.
В докладе будет рассказано об уточнении оценки неполной суммы Клоостермана за счёт применения так называемого решета Виноградова. Полученная оценка справедлива для простого модуля $m \geqslant m_0$ и целого $a$, $(a,m)=1$, в случае, когда длина суммы $x$ удовлетворяет неравенствам
$$ \exp(c (\log m)^{5/6} (\log \log m)^{1/6}) \leqslant x \leqslant \sqrt{m}, \quad c > 0. $$