О свойствах компактных $C^\ast$-соотношений

Доклад посвящен категориям, введенным Т.А. Лорингом в рамках аксиоматического подхода к универсальным $C^\ast$-алгебрам. Эти категории называются $C^\ast$-соотношениями. Для заданного множества $X$, $C^\ast$-соотношение на $X$ определяется как категория, объектами которой служат функции из $X$ в $C^\ast$-алгебры, а морфизмами являются $\ast$-гомоморфизмы $C^\ast$-алгебр, делающие соответствующие треугольные диаграммы коммутативными. Кроме того, эти функции и $\ast$-гомоморфизмы удовлетворяют некоторым аксиомам. $C^*$-соотношения, обладающие инициальными объектами, называются компактными. Универсальная $C^*$-алгебра для компактного $C^\ast$-соотношения определяется как ее инициальный объект. Для изучения свойств компактных $C^\ast$-соотношений мы строим функторы между этими категориями. Среди $C^\ast$-соотношений нами рассматриваются $\ast$-полиномиальные соотношения, определяемые $\ast$-полиномиальными парами. Показывается, что каждая $C^*$-алгебра является универсальной $C^\ast$- алгеброй, определяемой $\ast$-полиномиальной парой. Используя упомянутые выше функторы, мы доказываем, что каждое компактное $C^\ast$-соотношение изоморфно $\ast$-полиномиальному соотношению. Далее показывается, что каждое компактное $C^*$-соотношение является полной и кополной категорией. В качестве приложения полноты компактных $C^\ast$-соотношений, мы получаем критерий существования универсальных $C^\ast$-алгебр.
Доклад основан на результатах нашей совместной работы с И.С. Бердниковым, Е.В. Липачевой и К.А. Шишкиным.