Локальная разрешимость и разрушение решений нелинейных задач Коши и начально-краевой задачи из теории волн в плазме

Будут рассмотрены три нелинейные задачи Коши для уравнений ионно-звуковых и дрейфовых волн в плазме, а также начально-краевая задача для сферически симметричных ионно- звуковых волн в плазме. Все уравнения в этих задачах объединены общей линейной частью. Сначала строится фундаментальное решение данной линейной части, а затем выводятся вторая и третья формулы Грина. Затем рассматриваются объёмный и поверхностный потенциалы, возникающие в задачах Коши, и изучаются их свойства. Для объёмного потенциала и потенциалов с весом доказыва- ются априорные оценки типа Шаудера. Далее задачи Коши и начально-краевая задача сводятся к эквивалентным интегральным уравнениям. Для всех задач методом сжимающих отображений доказывается локальная во времени разрешимость. Для двух задач Коши доказывается существование непродолжаемых решений, а для третьей - существование локального во времени решения. Для одной из задач Коши модифицированным методом Х.А. Левина получены достаточные условия разрушения решения за конечное время и найдена оценка сверху на время разрушения решения. Для другой задачи Коши методом нелинейной емкости С.И. Похожаева получен результат о разрушении решения за конечное время и два результата об отсутствии даже локальных решений, а также получена оценка сверху для времени разрушения решения. Наконец, для начально-краевой задачи методом пробных функций получен результат о разрушении решения и получена оценка сверху на время разрушения.