О существовании элемента с заданными уклонениями от расширяющейся системы подпространств

Будут обсуждаться различные продвижения в следующей нерешенной задаче. Пусть задана счетная система $Y_1 \subset Y_2 \subset \cdots$ строго вложенных замкнутых линейных подпространств некоторого бесконечномерного банахова пространства $X$, а также последовательность неотрицательных чисел $d_1 > d_2 > \cdots, \ d_n \to 0$. Верно ли, что всегда существует элемент $x \in X$, уклонения $\rho(x, Y_n) = \inf \{\|x - y\| : y \in Y_n\}$ которого от подпространств $Y_n$ равны этим числам: $\rho(x, Y_n) = d_n, \ n = 1, 2, \ldots$ ?