О близости распределений последовательных сумм на выпуклых множествах и в метрике Прохорова

Пусть $X_1$, $X_2$, ... – независимые одинаково распределенные случайные векторы в $d$-мерном евклидовом пространстве с распределением $F$. Тогда $S_n=X_1+...+X_n$ имеет распределение $F^n$ (степени мер понимаются в смысле свертки). Пусть $R(F,G)=\sup|F(A)-G(A)|$, где супремум берется по всем выпуклым подмножествам $d$-мерного евклидова пространства. Тогда для любых нетривиальных распределений $F$ найдется $c(F)$, зависящее только от $F$ и такое, что $R(F^n,F^{n+1})$ не превосходит $c(F)$, деленного на корень из $n$, для любых натуральных $n$. Распределение $F$ считается тривиальным, если оно сосредоточено на аффинной гиперплоскости, не содержащей начало координат. Ясно, что для таких $F$ имеет место равенство $R(F^n,F^{n+1})=1$.
Аналогичный результат получен также для расстояния Прохорова между распределениями векторов $S_n$ и $S_{n+1}$, нормированных на корень из $n$. При этом утверждение остается верным для любых распределений, в том числе и тривиальных.