Ряд плюс цепная дробь

Великий Рамануджан сложил множество формул, важных и глубоких, связанных с разными науками. Но ни одна из них меня не умиляет как
$$\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{\ddots}}}}+1+\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}+\cdots =\sqrt{\frac{\pi e}{2}}$$
(по отдельности ни дробь, ни ряд ничему такому хорошему не равны, а вот только их сумма.)

Обычно этой формулой только любуются, я бы хотел рассказать и доказательство.