Степень свободы систем дифференциальных уравнений и коммутативная алгебра

Предположим, что система дифференциальных уравнений в частных производных описывает классическую теорию поля. Эйнштейн предложил определить "силу" и число степеней свободы теории через асимпотику числа свободных коэффициентов данного порядка в ряде Тейлора общего решения системы. Прямое вычисление этой величины нетривиально. Предлагаемый подход к этой задаче основан на применении методов коммутативной алгебры.
Посмотрим на матрицу системы как на линейное отображение свободных модулей над кольцом дифференциальных многочленов. Тогда можно получить представить число степеней свободы как кратность некоторого модуля над кольцом многочленов. Значит, эту величину можно явно вычислить с помощью стандартных средств компьютерной алгебры для любой конкретной системы. Более того, мы доказали (для однородных и некоторых более общих систем) другую явную формулу для той же величины, выражающую ее через количество и порядок высших калибровочных симметрий и тождеств. Интересное следствие — совпадение числа степеней свободы для пары эрмитово сопряженных систем. Кроме этих результатов, планируется обсудить примеры и возникающие здесь алгебраические вопросы.
Доклад основан на совместной работе с Семеном Ляховичем.