Флаговые многообразия Эйнштейна

В силу нелинейности уравнений Эйнштейна поиск точных решений является сложной задачей. Одним из важнейших частных случаев, являются уравнения Эйнштейна в вакууме, которые представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения на псевдо-риманову метрику. При наличии группы симметрий $G$ многообразия $M$ естественно рассмотреть метрики инвариантные относительно действия этой группы. Если группа $G$ действует транзитивно на $M$, т.е. $M$ является однородным многообразием группы $G$, то уравнения Эйнштейна ограниченные на подпространство инвариантных метрик оказываются системой алгебраических уравнений, исследовать которые значительно проще. Более того, в случае флаговых многообразий, алгебраические уравнения задаются полиномами Лорана и к ним применима теория Бернштейна-Кушниренко. С каждым флаговым многообразием можно связать некоторый целочисленный многогранник, нормализованный объем которого является оценкой сверху на число изолированных решений уравнений Эйнштейна. Этот подход был развит в работах М. М. Граева, основные результаты которого будут представлены в докладе. Кроме того, мы обсудим возможные направления обобщения его результатов в свете новых работ, посвященных изучению так называемых космологических политопов.