Вокруг гипотезы Римана

Хорошо известная гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана лежат на критической прямой. На данный момент известно, что по крайней мере 41 дзета-функции Римана лежит на критической прямой. При этом из плотностной теоремы Сельберга следует, что почти все нетривиальные нули дзета-функции лежат в малой окрестности критической прямой.
Этот факт поясняет, что обнаружить “исключительный нуль”, если такой существует, будет очень сложно.
Определен целый класс $L$-функций (класс Сельберга), для которых предполагается справедливость аналога гипотезы Римана.
Однако, если мы рассмотрим нетривиальную линейную комбинацию $L$-функций из класса Сельберга, для которой мог бы быть справедлив аналог гипотезы Римана (наличие у линейной комбинации функционального уравнения Риманого типа), то оказывается, что для нее гипотеза Римана нарушается, причем существенно (бесконечно много нулей лежит даже в области абсолютной сходимости соответствующего ряда Дирихле). Примером такой функции является дзета-функция Эпштейна, соответствующая бинарной положительно определенной квадратичной форме. Такая линейная комбинация отличается от дзета-функции или других $L$-функций из класса Сельберга тем, что она не имеет Эйлерова произведения. Однако даже для таких линейных комбинаций есть гипотеза, что почти все их нетривиальные нули лежат на критической прямой.
Я расскажу о результатах и методах в данной тематике, изучающей нули (далекие от вещественной прямой) специальных $L$-функций. Фундамент в эти исследования заложил А.Сельберг в прошлом веке.