Вложимость джойностепеней, гомологии взрезанного квадрата и минимальный ранг частичных матриц

Доклад основан на совместной работе А.Скопенков-О.Стырт, arXiv:2305.06339.
Отображение $f\colon K\to M$ общего положения из $k$-мерного симплициального комплекса в $2k$-мерное многообразие называется $\mathbb{Z}_2$-вложением, если образы любых двух несмежных $k$-мерных граней пересекаются в чётном числе точек. Мы расскажем о критерии $\mathbb{Z}_2$-вложимости некоторого $k$-мерного комплекса (джойностепени) в $2k$-мерные многообразия, а именно
∙ версия ‘типа Куратовского’ критерия Фулека-Кинчля-Бикеева (для $k=1$), и
∙ обратное к необходимому условию Дженжера-Скопенкова (для $k>1$).
Этот критерий сводит проблему Кюнеля о $\mathbb{Z}_2$-вложениях к чисто алгебраической задаче. Наше доказательство использует геометрическую топологию, комбинаторику и линейную алгебру. Оно основано на нахождении порождающих в гомологиях некоторого конфигурационного пространства (взрезанного квадрата) рассматриваемого комплекса.