Аксиома выбора и Парадокс Банаха-Тарского

Сегодня множества используются как универсальный язык для разных областей математики. Однако, не всегда математики были так единодушны относительно этой теории. Среди всех противоречий и сомнений, следует особенно выделить следующее утверждение:
Аксиома выбора: Если дано семейство непустых множеств, то из каждого из них можно выбрать по элементу и «сложить» в отдельное множество.
Эта нехитрая, и, кажется, очевидная аксиома позволяет доказать невероятное — Парадокс Банаха-Тарского (1924 г.). Единичный шар в трехмерном пространстве можно разбить на конечное число частей (5), после чего передвинуть их так, чтобы получилось два таких же шара.
В рамках доклада мы разберем доказательство этого утверждения, и, может быть, немного поговорим о значении аксиомы выбора в математике.