Задача Сильвестра

Классическая задача Сильвестра заключается в нахождении вероятности того, что четыре случайные точки, независимо и равномерно выбранные внутри выпуклой фигуры, находятся в выпуклом положении. Бляшке показал, что эта вероятность максимальна для эллипсов и минимальна для треугольников. Позднее первая часть этого утверждения была обобщена на многомерные эллипсоиды, в то время как соответствующее утверждение для симплексов до сих пор остается гипотезой для размерностей выше 2. Интересно отметить, что из этой гипотезы вытекает знаменитая проблема Бургейна о сечениях (Bourgain's Slicing Problem), решение которой было получено совсем недавно (https://arxiv.org/abs/2412.15044).

В литературе существуют различные обобщения задачи Сильвестра, однако в большинстве из них прогресс остается ограниченным. Мы обсудим наиболее интересные из этих обобщений, предложим возможные новые естественные постановки и коллективными усилиями попытаемся продвинуться в каких-то их них.

Для полноценной работы не требуется предварительных специальных знаний или обязательного ознакомления с литературой.