Теорема Хиндмана о конечных суммах и её приложение к топологизации алгебр

Мы начнем с краткого обзора результатов, связанных с теоремой Хиндмана о конечных суммах и ее обобщений, основанных на идемпотентных ультрафильтрах в ультрарасширениях полугрупп.
Далее будет представлено приложение этих идей к изучению топологий Зарисского и проблеме топологизации универсальных алгебр (восходящей к работам Маркова мл. и получивших развитие в работах Мальцева, Шелаха и других). Будет рассмотрен специальный класс универсальных алгебр, называемых поликольцами (или мультиоператорными кольцами) и включающего такие классические случаи, как абелевы группы, кольца, модули, векторные пространства, дифференциальные алгебры и др. Планируется показать, что не только топология Зарисского поликолец не дискретна (что для колец было ранее установлено Арнаутовым), но и $n$-ая степень поликольца с топологией, задаваемой многочленами от n переменных, замкнута и нигде не плотна в его $(n+1)$-ой степени. Более того, если $K$ — бесконечное поликольцо, то для всякого терма $F$ от $n$ переменных, задаваемое им отображение $n$-ой степени поликольца $K$ в $K$ замкнуто и нигде не плотно в $(n+1)$-ой степени $K$ с топологией Зарисского.
Фактически этот результат демонстрирует, что топологии Зарисского поликолец допускают разумное понятие топологической размерности, несмотря на то, что могут быть как не хаусдорфовыми, так и не нётеровыми. Из этого следует, что некоторые (в частности, всех счётные) поликольца топологизируемы тихоновской топологией без изолированных точек.