Объемная энтропия симплициальных комплексов и слабое гомотопическое сплющивание топологических пространств II

Это продолжение доклада от 26 февраля.
В 1971г Динабург обнаружил, что экспоненциальный рост фундаментальной группы замкнутого многообразия влечет положительность топологической энтропии геодезического потока любой метрики на этом многообразии. В 1979г Мэнинг нашел простой количественный инвариант римановой метрики, оценивающий снизу топологическую энтропию геодезического потока. Это привело к возникновению нового гомотопического инварианта замкнутых многообразий, называемого сейчас "объемной энтропией", но также известного как "асимптотический объем" многообразия.
В последнее десятилетие применимoсть этого инварианта была расширена на симплициальные комплексы, что было обусловлено, например, изучением групп свободно действующих на кубических CAT(0)-комплексах. Такое расширение области исследований радикально изменило возможность применения уже устоявшихся результатов, применимых к многообразиям.
Одним из стандартных приемов, используемых в теории приближений является вычисление различного рода поперечников. Это направление стало особенно бурно развиваться с появлением (40-е годы) поперечника Колмогорова. Сейчас известен достаточно длинный список различных поперечников, вычисление которых часто представляет серьёзные трудности. В тоже время, даже среди специалистов по теории приближений не является широко известным факт, что впервые поперечник был введен Урысоном в 1923г в чисто топологическом контексте. Поперечник Урысона измерял приближение метрического компакта компактами меньшей размерности. Сам Урысон назвал свой инвариант "коэффициентом сплющивания". Хотя это название абсолютно адекватно отражает изучаемую топологическую ситуацию, в настоящее время оно оказалось совершенно забытым.
После соответствующего введения в предмет, я постараюсь рассказать, как идеи 100-летней давности, восходящие к Урысону, позволяют получить информацию об объёмной энтропии комплексов.