О гладкости собственных функций дифференциально-разностных операторов с краевыми условиями первого рода.

Известно, что в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, гладкость обобщенных решений дифференциально-разностных уравнений может нарушаться во внутренних точках интервала даже для бесконечно дифференцируемой правой части. Краевые задачи для функционально - дифференциальных уравнений возникают во многих приложениях, в частности, в задаче об успокоении системы управления с последействием. Однако долгое время оставался открытым вопрос: "Будут ли обобщенные собственные функции дифференциально-разностных операторов сохранять свою гладкость на всем интервале или нет?" В недавно опубликованной работе [1] было показано, что гладкость обобщенных собственных функций может нарушаться во внутренних точках интервала.
В настоящем докладе будет рассмотрен вопрос о регулярности обобщенных собственных функций дифференциально-разностных операторов с краевыми условиями первого рода на конечном интервале. Мы приведем некоторые новые (в сравнении с работой [1]) необходимые и достаточные условия сохранения гладкости обобщенных собственных функций на всем интервале. Будут рассмотрены примеры как нарушения, так и сохранения гладкости обобщенных собственных функций.
Ссылки: [1] Р. Ю. Воротников, А. Л. Скубачевский, “Гладкость обобщенных собствен- ных функций дифференциально-разностных операторов на конечном ин- тервале”, Матем. заметки, 114:5 (2023), 679–701.