Об одной экстремальной задаче в биллиардах

Рассматривается биллиард во внешности некоторого тела (ограниченного множества в $R^n$ с кусочно-гладкой границей). В рамках этой модели изучается задача о наименьшем (усредненном) сопротивлении в определенном направлении.
Доказано (Aleksenko & Plakhov, 2009) существование тела с нулевым сопротивлением, а также (используя оптическую аналогию) тела, невидимого в одном направлении.
Известно также (Plakhov & Roshchina, 2011), что тел, имеющих нулевое сопротивление во всех направлениях, а значит, и абсолютно (во всех направлениях) невидимых, не существует. Мы рассматриваем задачу о наименьшем усредненном сопротивлении для тела фиксированного объема, содержащегося в единичной сфере. Эта задача полностью еще не решена. Используя методы векторнозначной задачи Монжа-Канторовича, найдена нижняя граница значений для усредненного сопротивления как функции от объема тела. Данная работа — совместная с В. Рощиной.