Комбинаторные геометрические потоки на триангулированных поверхностях

На двумерной поверхности поток Риччи имеет довольно простой вид — это дифференциальное уравнение на семейство метрик, зависящих от времени $t$: $\frac{d g_{ij}}{dt} = -K(g_{ij}(t)) g_{ij}(t)$, где $K(g_{ij})$ — гауссова кривизна метрики $g_{ij}$. После доказательства сходимости потока Риччи на двумерной замкнутой поверхности для любых начальных данных к метрике постоянной кривизны естественно возник вопрос о дискретизации этой технологии. Некоторая концептуальная трудность состоит в том, что метрика на триангулированной поверхности определяется длинами ребер триангуляции, а кривизна сосредоточена в вершинах. Наивная версия потока Риччи, как мы увидим, не удовлетворяет желаемому свойству сходимости потока к метрике постоянной кривизны для любой начальной метрики. Положительное решение было найдено в классе так называемых метрик упаковок кругов, который сам по себе представляет замечательный комбинаторный объект. Будет рассказано о соответствующем комбинаторном потоке Риччи, а также о некоторых его обобщениях.