О критерии Молчанова компактности резольвенты для несамосопряжённого оператора Штурма–Лиувилля

Критерий Молчанова компактности резольвенты оператора с полуограниченным потенциалом — один из важнейших результатов качественной теории дифференциальных операторов. Критерий получил различные обобщения как в теории ОДУ, где авторы отказывались от условия полуограниченности потенциала в пользу более слабых условий, так и в теории уравнений в частных производных, где основной акцент смещен в сторону так называемых несущественных множеств, поведение потенциала на которых не влияет на факт дискретности или недискретности спектра.
В фокусе нашего внимания — обобщения результата Молчанова на случай комплекснозначных потенциалов для обыкновенных дифференциальных операторов. Мы покажем, что условие Молчанова является необходимым условием компактности резольвенты для широкого класса операторов произвольного порядка, а в случае оператора Штурма–Лиувилля на полуоси — нащупаем границы, в рамках которых оно остается критерием.
Далее мы покажем, что в терминах условий типа Молчанова можно формулировать достаточные условия для компактности резольвент операторов с «плохими» потенциалами — принимающими значения в более широких секторах, чем полуплоскость — когда свойство секториальности самого оператора теряется.