A class of anisotropic diffusion-transport equations in non-divergence form

В докладе мы обобщим вероятностный метод Эйнштейна для броуновского движения на исследование сжимаемых жидкостей в пористых средах. Рассматривается многомерный случай с общими функциями распределения вероятностей. Связав ожидаемое смещение в единицу времени со скоростью жидкости, мы выведем уравнение анизотропной диффузии в недивергентной форме, содержащее транспортный член. В предположении закона Дарси получено соответствующее нелинейное уравнение в частных производных для функции плотности. Исследуются классические решения этого уравнения, устанавливаются принципы максимума и сильного максимума. Также получены оценки экспоненциального распада решений для всех времен и, в частности, их экспоненциальная сходимость при стремлении времени к бесконечности. В нашем анализе используются некоторые преобразования типа Бернштейна-Коула-Хопфа, которые явно строятся даже для очень общих уравнений состояния. Кроме того, доказывается и используется лемма о росте во времени для получения указанных выше оценок затухания.