Оценки транспортного расстояния в центральной предельной теореме

Пусть $X,X_1,\ldots,X_n$ – ограниченные с вероятностью единица $d$-мерные независимые случайные векторы. Для простоты будем считать, что у них нулевые средние значения:
\begin{equation}\label{tau} \mathbf{P}\{\|X_{j}\|\le\tau\}=1,\quad\mathbf{E}\,X_{j}=0,\quad j=1,\ldots, n. \end{equation}
Изучается поведение распределения суммы $S=X_{1}+\cdots+X_{n}$ в зависимости от ограничивающей величины $\tau$.
Из неравномерной оценки Бикялиса в одномерной центральной предельной теореме следует, что
$$ W_1(F,\Phi_{\sigma})\le c\tau $$
с абсолютной постоянной $c$, где $W_1$ – транспортное расстояние Канторовича–Рубинштейна–Васерштейна, $F$ – распределение суммы $S$, а $\Phi_{\sigma}$ – соответствующее нормальное распределение. Основной результат доклада значительно сильнее и точнее. Утверждается, что
$$ \rho(F,\Phi_{\sigma}) =\inf\int\exp(|x-y|/c\tau)\,d\pi(x,y)\le c, $$
где инфимум берется по всем двумерным вероятностными распределениям $\pi$ с маргинальными распределениями $F$ и $\Phi_{\sigma}$. Результат обобщен также на распределения с достаточно медленно растущими кумулянтами из класса $\mathcal{A}_{1}(\tau )$, введенного в работе докладчика 1986 года. Обсуждается вопрос о возможности обобщения результата на многомерный случай.