Об обобщенных играх и теореме Скарфа

Один из основных объектов изучения теории кооперативных игр — “кооперативные игры с нетрансферабельной полезностью”. Известно, что для таких игр всегда существует “смешанное равновесие”. Основной результат нашей работы состоит в том, что мы обобщаем понятие кооперативных игр с нетрансферабельной полезностью. Для обобщенных игр мы показываем, что им в соответствие можно поставить отображение из n-мерной сферы $S^n$ в $d$-мерную сферу $S^d$. Основным результатом работы является теорема о том, что если сопоставленное отображение не гомотопно отображению в точку, то у получившейся игры существует “смешанное равновесие”. В частности, классическим кооперативным играм с нетрансферабельной полезностью всегда соответствует отображение степени 1 из $S^d$ в $S^d$, из чего следует, что в них всегда существует равновесие. В частности мы показываем, что из предложенного нами обобщения можно получить серию примеров игр, в которых существует равновесие и которые выглядят “странно” с точки зрения классической теории игр.