Аппроксимации bi-непрерывных полугрупп и приложения в квантовой механике

В докладе рассматривается вопрос приближения так называемых bi-непрерывных полугрупп на локально выпуклых пространствах итерациями Чернова, обобщающих формулы Троттера-Ли. Для операторного семейства (F_t, t>0), формально представимого в виде F_t=I+tL+o(t), где L - производная в нуле, итерациями Чернова называются последовательности (F_{t/n}^n) по n при фиксированных t>0. Возможность аппроксимации обеспечивается известной теоремой Чернова, которая, однако, включает достаточно сложную проверку плотности пространства (λI-L)D(L) для некоторого λ>0. Полученный результат позволяет отказаться от этой проверки и получить аппроксимацию полугруппы на некотором подпространстве, определяемым малым действием коммутаторов [F_t,F_s]/(ts) на его векторы. В общем случае выбор этого подпространства связан также с тем, как ведут себя подпоследовательности итераций Чернова, однако это допущение кажется преодолимым. Bi-непрерывные полугруппы возникают в задачах квантовой механики при рассмотрении классических и квантовых случайных процессов. Дело в том, что, на естественных функциональных пространствах в ряде примеров соответствующая полугруппа не обязательно сильно непрерывна. Также важно, что класс bi-непрерывных полугрупп обобщает класс сильно непрерывных полугрупп, поэтому все полученные результаты применимы и к ним.
В качестве примера посмотрим на процесс неточного непрерывного квантового измерения координаты (измерение траектории), задаваемый уравнением Шредингера-Белавкина, и его дискретные аппроксимации.