О вещественной квантовой механике в кэлеровом пространстве

Необходимость комплексных чисел в квантовой механике давно является предметом дискуссий. В данной работе разрабатывается формулировка квантовой механики в вещественном кэлеровом пространстве [19], утверждающая эквивалентность стандартному подходу с комплексным гильбертовым пространством. Отображая комплексное гильбертово пространство C^n в вещественное кэлерово пространство K^(2n), т.е. R^(2n), снабженное метрикой, симплектической структурой и автоморфизмом, мы устанавливаем соответствие между эрмитовыми операторами в C^n и вещественными операторами в K^(2n). Хотя изоморфизм кажется прямолинейным, возникают некоторые тонкости: (i) избыточный подсчет состояний составных систем при тензорных произведениях в R^(2n), и (ii) двойная вырожденность спектров операторов в вещественной формулировке. Посредством систематического исследования этих проблем мы проясняем структурную связь между вещественной и комплексной формулировками, разрешаем неоднозначности в представлениях составных систем и анализируем спектральные следствия. Наши результаты подтверждают эквивалентность двух подходов, одновременно выявляя нюансированные различия с последствиями для фундаментальных дебатов о локальности, фазовой инвариантности и роли комплексных чисел в квантовой теории.