О точечном спектре несамосопряженного квазипериодического оператора

Рассматривается разностный оператор, действующий в $l_2$ на целочисленной решетке по правилу
$$ A \psi_n=\psi_{n+1}+\psi_{n-1}+ \lambda \, \mathrm{exp}(-2\pi i (\theta+\omega_n)) \psi_n, $$
где $n$ — целочисленная переменная, $\psi$ принадлежит $l_2$, а $0<\omega<1$, $\lambda>0$ и $0\leq \theta < 1$ — параметры. Этот оператор ввел П. Сарнак в 1982 году. При иррациональных $\omega$ оператор $A$ является квазипериодическим. Ранее в рамках перенормировочного подхода (метода монодромизации) мы описали место спектра этого оператора. В докладе мы сначала обсудим наличие точечного спектра при разных значениях параметров, а затем опишем собственные функции. Для этого, используя идеи перенормировочного подхода, исследовался разностный оператор на окружности, связанный с исходным преобразованием Фурье. Его анализ позволил, во-первых, получить достаточные условия существования точечного спектра нового типа, а во-вторых, детально описать многомасштабную самоподобную структуру преобразования Фурье собственных функций. Доклад основан на совместной работе с Денисом Борисовым (Уфа).