Гипотеза Нельсона и цепное правило

Рассмотрим бездивергентное векторное поле $\boldsymbol{v}\colon \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d$, принадлежащее $L_p(\mathbb{R}^d)$ ($1\leqslant p \leqslant \infty$) и имеющее компактный носитель. В 1962 году Э. Нельсон выдвинул гипотезу, согласно которой при $p=2$ неограниченный оператор $A_0 \colon L_2(\mathbb R^d) \to L_2(\mathbb R^d)$ вида $A_0(\rho) = \boldsymbol{v} \cdot \nabla \rho$ c областью определения $D(A_0) = C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ существенно кососопряжен. В 1978 году М. Айзенман привёл контрпример к этой гипотезе для случая $d\geqslant 3$, причём построенное им векторное поле ограничено. Из недавних результатов Дж. Альберти, С. Бьянкини, Дж. Криппы и Е.Ю. Панова, вытекает, что и в случае $d=2$ данная гипотеза неверна даже при $p=\infty$. Несмотря на это, при $d=2$ и $p=2$ для рассматриваемого оператора $A_0$ имеет место следующий аналог теоремы о производной сложной функции (цепное правило): для любой функции $\beta \in C^1(\mathbb{R})$ и для любой функции $\rho \in L_\infty(\mathbb{R}^2)$ из $\operatorname{div}(\rho \boldsymbol{v}) = 0$ (в смысле обобщённых функций) следует, что $\operatorname{div}(\beta(\rho) \boldsymbol{v}) = 0$. Рассмотренные Нельсоном примеры показывают, что при $p<2$ цепное правило может нарушаться. Доклад основан на совместной работе с М.В. Коробковым (arXiv:2411.09338).