Разложение на простые дроби специальных бесконечных произведений с корнями на луче

При фиксированном $\,s>1\,$ рассматривается целая функция $\,L\,$ порядка ${1/s\in (0,1)}$, заданная бесконечным произведением нулевого рода с корнями вида
$$ \lambda_0=0,\quad\lambda_n=n^s\,+\,O(1),\quad n\in\mathbb{N}. $$
Интерес к таким функциям восходит к работе Харди 1905 года и усилился в последнее время благодаря применениям в теории спектральных разложений операторов. Показано, что при $\,s\geqslant2\,$ величина $\,1/L\,$ раскладывается в ряд типа Крейна
$$ \frac{1}{L(\lambda)}\,=\,\frac{1}{\lambda}\,+\,\sum\limits^{\infty}_{n=1}\; \frac{1}{L'(\lambda_n)(\lambda-\lambda_n)} $$
с абсолютной и равномерной сходимостью на компактах $\mathbb{C}$, не содержащих точек $\lambda_n$. При $1<s<2$ подобное разложение отсутствует. Обсуждаются частные случаи и сопутствующие суммационные соотношения.