Множества Делоне: локальные правила и периодичность.

Множество Делоне, обладающее кристаллографической группой, является общепринятой математической моделью идеального кристалла. Один из фундаментальных вопросов геометрической кристаллографии – описание локальных условий ("локальных правил") при которых данное множество Делоне, является кристаллом, то есть кристалографической орбитой конечного множества точек. В рамках известной локальной теории правильных систем был сформулирован и доказан локальный критерий того, что множество Делоне является кристаллом. Основное внимание будет уделено доказательству теоремы: если семейство множеств Делоне, удовлетворяющих некоторому локальному правилу, конечно или счетно, то в этом семействе содержится хотя бы один идеальный кристалл. Отсюда следует, что если в семействе F множеств Делоне в d-мерном евклидовом пространстве с данным локальным правилом нет ни одного кристалла ( то есть множества с d линейно независимыми периодами), то семейство F несчетно. В частности, семейство знаменитых узоров Пенроуза на плоскости, которые, как известно, не периодические, несчетно. Также несчетно недавно открытое семейство непериодических моноэдральных разбиений на плоскости (решение известной задачи, т.н. ‘einstein problem’).