Критические метрики для собственных значений оператора Лапласа и их связь с минимальными и гармоническими отображениями

В книге «Теория звука» (1877–1878) лорд Рэлей задал вопрос: какую форму должна иметь мембрана барабана, чтобы высота звука была минимальной среди всех мембран с фиксированной площадью? Используя физическую интуицию, он предположил, что такой формой является круг, — утверждение, которое позднее было строго доказано Фабером и Краном в 1921 году. Современный аналог этой задачи в римановой геометрии формулируется следующим образом: задана компактная поверхность без границы и натуральное число $k$; каково наибольшее значение $k$-го собственного значения оператора Лапласа–-Бельтрами среди всех римановых метрик фиксированной площади? Эта задача одновременно трудна и богата по структуре, и имеет глубокие связи с классическими областями, такими как дифференциальная и алгебраическая геометрия, геометрический анализ, теория уравнений с частными производными и топология. Особенно мощным и плодотворным инструментом оказалась взаимосвязь между критическими метриками для собственных значений и минимальными или гармоническими отображениями.