Спектральная последовательность Адамса–Новикова и когомологии алгебр Хопфа

В 1966 году на международном конгрессе математиков в Москве Сергей Петрович Новиков сделал доклад по теории кобордизмов в задачах алгебраической топологии. Уже в следующем году вышла его большая статья «Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов» в журнале Известия Академии Наук, серия математическая. Это была программа перестройки методов и подходов в алгебраической топологии на основе теории кобордизмов $U^*$. В центре этой статьи была конструкция спектральной последовательности Адамса–Новикова (ANSS) и алгебра $A_U$ всех стабильных когомологических операций в теории $U^*$.
В алгебре $A_U$ имеются операции двух типов: умножение на элемент кольца скаляров $\Omega_U$ (изоморфного кольцу многочленов по теореме Милнора–Новикова, 1960) и действие алгебры Ландвебера–Новикова $S$, определенной в терминах характеристических классов и изоморфизма Тома. Алгебра всех стабильных операций естественно описывается в виде пополненного тензорного произведения $\Omega_U \hat\otimes S$.
С.П.Новиков выделил тот факт, что умножение в этом тензорном произведении не стандартное, а определяется нетривиальным правилом коммутации элементов кольца $\Omega_U$ и алгебры $S$.
Cпектральная последовательность Адамса–Новикова стала (и до сих пор остается) одним из центральных инструментов для вычисления гомотопических групп спектров. В случае спектра сфер начальный член этой спектральной последовательности — чисто алгебраический объект, который определяется в терминах когомологий алгебры Ландвебера–Новикова $S$ и ее представления в кольце $\Omega_U$, определяющего умножение в алгебре $A_U$.
Фундаментальным оказался факт, что алгебра Ландвебера–Новикова $S$ является алгеброй Хопфа.
Для вычисления начального члена ANSS В.М.Бухштабер предложил спектральную последовательность (1970 г), которая связала когомологии алгебры Хопфа $S$ с ее представлением на кольце $\Omega_U$. Конструкция этой спектральной последовательности основана на изоморфизме $S$-модулей $\Omega_U \otimes Q \cong S_*\otimes Q$, где $S_*$ — алгебра Хопфа, двойственная алгебре $S$.
В центре внимания доклада будет конструкция спектральной последовательности Бухштабера для общих алгебр Хопфа и новая структура в когомологиях алгебр Хопфа, определяемая этой спектральной последовательностью (Бухштабер–Попеленский, 2024 г.). Мы обсудим задачи теории алгебр Хопфа, в которых важную роль играет эта структура. Будут продемонстрированы связи с классическими работами в алгебраической топологии и гомологической алгебре.