Об одном варианте метода фиктивных областей для уравнений Навье-Стокса

Одной из ключевых особенностей уравнений Навье–Стокса для вязкой несжимаемой жидкости является отсутствие явных граничных условий на давление. Давление в этой системе выступает в качестве функции Лагранжа, обеспечивающей выполнение условия неразрывности потока и определяется лишь в совокупности с уравнением движения. В связи с этим, при численной реализации задач гидродинамики возникает вопрос: как корректно моделировать поведение давления на границах области. Особенно остро этот вопрос стоит при использовании метода фиктивных областей (МФО), который предполагает замену сложной геометрии физической области на более простую расширенную область.
Метод фиктивных областей расширяет исходную область до области с простой геометрией таким образом, что искомая задача продолжается на вспомогательную область с дополнительными коэффициентами зависящими от малого параметра. Это приводит к задаче в расширенной области при выполнении условий сопряжения на исходной границе.
В данной работе МФО применяется как метод моделирования краевых условий для давления или полного напора. На границе вспомогательной области ставятся граничные условия Дирихле для давления и нулевые граничные условия для касательной составляющей скорости. Такая нестандартная постановка граничных условии для систем уравнении Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости является корректной. Эти граничные условия позволяют численно решать уравнение Пуассона для давления с граничными условиями Дирихле. Внутренние итерации для определения давления хорошо сходятся. Следующей проблемой является удовлетворения граничных условии для компонент скоростей на исходной физической границе. Для решения этой сложности можно использовать метод сопряженных уравнений, которая дает возможность последовательными приближениями уточнять граничные условия. Для получения численного решения с равномерной точностью используется многосеточный алгоритм.
Для иллюстраций возможностей предложенного варианта МФО были проведены численные расчеты тестовых задач. В качестве тестовой задачи были решены задача течения вязкой несжимаемой жидкости в криволинейном канале и задача течения в каверне с движущейся верхней крышкой. Численные расчеты проводились в широком диапазоне входных параметров и на расчетных сетках большой размерности.