Устойчивость конечно-разностных схем для уравнения диффузии с двучленными дробными производными по времени

Рассматривается уравнение диффузии с дву-членными производными дробного порядка по времени. Для численного решения этого уравнения составлены различные конечно-разностные схемы с аппроксимацией дробных производных по определению Капуто и Грюнвальда-Летникова, а диффузионного члена – сигма-взвешенными разностными производными второго порядка. Используя метод Фон Неймана исследована устойчивость разностных схем. Доказаны теоремы об их устойчивости. Показано, что разностные схемы являются условно устойчивыми, выведены условия устойчивости. Численно оценены размеры области устойчивости по временному шагу. Для случаев использования производной Капуто и Летникова-Грюнвальда получены различные, но близкие условия устойчивости. Это объясняется различными правилами аппроксимации производной Грюнвальда-Летникова. Отдельно исследован случай строгой положительности отношений амплитуд Фурье гармоник. Показано, что это условие сужает область устойчивости конечно-разностных схем.