Численное моделирование процессов газовой динамики с применением одной адаптивной искусственной вязкости для полностью консервативных разностных схем

Уравнения газовой динамики представляют собой выражения основных законов сохранения (массы, импульса и энергии) в сплошной среде. В исследовании и практике полностью консервативные разностные схемы (ПКРС) [1, 2] c адаптивной искусственной вязкостью [3] показывают эффективноть и точность для решения задач газовой динамики.
Рассмотрим двухслойную по времени полностью консервативную разностную схему пространственно-одномерного течения сжимаемого газа в переменных Эйлера:
\begin{align} \label{eq:eq5} & m_t = -v DIN_D \mu_D^\sim,\\ \label{eq:eq6} & (mu)_t = -v GRAD_\sigma \pi^\sim - v DIT_D(\mu_D^\sim \cdot u_D ^ \sim),\\ \label{eq:eq7} & (m\varepsilon)_t = -\frac{1}{2}\sum_{\Omega(\omega)} (\pi^\sim V DIV_\sigma u^\sim)_\Omega - v DIN_D\mu_{ED}^\sim,\\ \label{eq:eq8} & (m\frac{u^2}{2})_t = - v (u^\sim,GRAD_\sigma \pi^\sim)- v DIN_D(\mu_D^\sim \frac{u^{2\sim}_D}{2}), \end{align}
где
\begin{align}\nonumber & \mu = \rho u, ~ \mu_E = \varepsilon \mu=Eu, ~ E = \rho \varepsilon, ~ \rho^\sim=\rho^{(\psi_\rho)}, ~ \psi_\rho = const,\\ \nonumber & M_D^\sim = \frac{1}{2}\sum_{\omega(\Omega)}(\rho_\omega u_\omega)^{(0.5)}, ~ \mu_D^\sim = M_D^\sim - \nu_\rho^\sim GRAN_D \rho^\sim,\\ \nonumber & \pi_\Omega^\sim = P_\Omega^{(0.5)}- \nu_u^\sim DIV_\sigma (\rho^\sim u^{(\psi_u)}), ~ P_\Omega = \frac{1}{2}\sum_{\omega(\Omega)}P_\omega, ~ \psi_u = const,\\ \nonumber & M_{ED}^\sim=\frac{1}{2}\sum_{\omega(\Omega)}(E_\omega u_\omega)^{(0.5)}, ~ \mu_{ED}^\sim = M_{ED}^\sim - \nu_E^\sim GRAN_D (\rho^\sim \varepsilon^{(\psi_\varepsilon)}), ~ \psi_\varepsilon = const, \end{align}
{$\nu^\sim_\rho,~\nu^\sim_u,~\nu^\sim_E$} - группа искусственной вязкости.
В работе [4] предложены методы наполнения АИВ для данной ПКРС .Для тестирования предлагаемых методов проводятся расчёты задач Эйнфельдта [5] и Сода [6]. Часть результатов расчётов представлена в рис. 1 и рис. 2. Результаты показывают высокую точность. Кроме этого численные значения скорости и термодинамических величин (плотность внутренняя энергия и энтропия) совпадают с аналитическими.

Рис. 1. Профиль плотности и энтропии ($P/\rho^{\gamma}$, $\gamma$ - показатель адиабаты) при решении задачи Эйнфельдта

Рис. 2. Профиль плотности и энтропии ($P/\rho^{\gamma}$, $\gamma$ - показатель адиабаты) при решении задачи Сода и их аналитическое решение.

Список литературы

1. Samarskii, A. A., Popov, I. P. (1980). Difference methods for solving problems of gas dynamics. Moscow Izdatel Nauka.
2. Yu.P. Popov, A.A. Samarskii, Completely conservative difference schemes, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, Volume 9, Issue 4, 1969, Pages 296-305, ISSN 0041-5553.
3. I.V. Popov, I.V. Fryazinov, Adaptive artificial viscosity method numerical solution of equations of gas dynamics, Moscow, Krasand, 2014 (In Russ).'
4. M. E. Ladonkina, Yu. A. Poveschenko, H. Zhang, “Comparative analysis of some iterative processes for realization of fully conservative difference schemes for gas dynamics equations in Euler variables”, Zhurnal SVMO, 26:4 (2024), 404–423 (In Russ).
5. B Einfeldt, C.D Munz, P.L Roe, B Sjögreen, On Godunov-type methods near low densities, Journal of Computational Physics, Volume 92, Issue 2, 1991, Pages 273-295, ISSN 0021-9991.
6. Gary A Sod, A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws, Journal of Computational Physics, Volume 27, Issue 1, 1978, Pages 1-31, ISSN 0021-9991.