Модификация разрывного метода Галёркина, с использованием базисных функций, зависящих от времени

При расчетах разрывным методом Галеркина, часто возникает потеря точности в областях локализации ударных волн. Данный эффект наблюдается при расчетах и другими схемами повышенного порядка аппроксимации. Одним из решений данной проблемы была бы методика, сохраняющая идеологию схем сквозного счета, распознающая положение ударных волн, эффективно подавляя наличие нефизичных осцилляций и сохраняющая точность методики в областях гладкости решения. В настоящей работе, данная концепция реализуется путем использования в РМГ базисных функций, зависящих от времени. Использование таких функций в областях, содержащих сильные ударные волны, позволяет локально перейти к расчету по схеме Годунова, но на сетке вдвое мельче исходной. Как известно, при использовании классической схемы Годунова энтропийное условие гарантировано выполнено.
Разработанная модификация разрывного метода Галеркина, с использованием базисных функций, зависящих от времени позволяет естественным образом устойчиво рассчитывать сильные разрывы. Ключевым моментом данной схемы является алгоритм определения функции $\alpha (x,t)$, отвечающую за точность определения положения разрывов численного решения и, соответственно, качество вычислительной схемы. Серия выполненных расчетов позволяет говорить о возможности применения предложенной схемы для решения задач с наличием областей высоких градиентов решения. При решении задач на подробной сетке новой модификацией РМГ осцилляции в численном решении отсутствуют, в то время как при решении классическим разрывным методом Галеркина наблюдается наличие осцилляций. Накладывая дополнительные условия на функцию $\alpha (x,t)$ можно добиться выполнения энтропийного неравенства, поскольку при $\alpha (x,t)$ тождественно равной 1 схема переходит в классическую схему Годунова первого порядка, для которой энтропийное неравество выполнено.